511. Орлов А.И. Горский В.Г., Гриценко А.А. Новый метод согласования кластеризованных ранжировок. - Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-14. Сб. трудов Международной научной конференции в 6-и т. Т.2. Секции 2, 5. / Смоленский филиал Московского энергетического института (технического ун-та). Смоленск, 2001. С.106-109.

НОВЫЙ МЕТОД СОГЛАСОВАНИЯ  КЛАСТЕРИЗОВАННЫХ РАНЖИРОВОК  
Орлов А.И., Горский В.Г., Гриценко А.А.
МГТУ им. Н.Э.Баумана, ГНЦ РФ “ГНИИОХТ”, МЭИ,  E-mail: antorlov@mail.ru
 
	Проблема состоит в выделении общего нестрогого порядка из набора кластеризованных ранжировок (на статистическом языке - ранжировок со связями). Этот набор может отражать мнения нескольких экспертов или быть получен при обработке мнений экспертов различными методами. Предлагается метод согласования кластеризованных ранжировок, позволяющий “загнать” противоречия внутрь специальным образом построенных кластеров (групп), в то время как упорядочение кластеров соответствует всем исходным упорядочениям.
  	В различных прикладных областях возникает необходимость анализа нескольких кластеризованных ранжировок объектов. К таким областям относятся технические исследования, экология, менеджмент, экономика, социология, прогнозирование и т.д., особенно те их разделы, что связаны с экспертными оценками (см., например, [1,2]).  В качестве объектов могут выступать образцы продукции, технологии, математические модели, проекты, кандидаты на должность и др. Получены кластеризованные ранжировки могут быть как с помощью экспертов, так и объективным путем, например, при сопоставлении математических моделей с экспериментальными данными с помощью того или иного критерия качества. Мы разработали описанный ниже статье метод в связи с проблемами химической безопасности биосферы  и экологического страхования.
	Предлагается новый метод построения кластеризованной ранжировки,  согласованной (в раскрытом ниже смысле) со всеми рассматриваемыми кластеризованными ранжировками. При этом противоречия между отдельными исходными ранжировками оказываются заключенными внутри кластеров согласованной ранжировки. В результате упорядоченность кластеров отражает общее мнение экспертов, точнее, то общее, что содержится в исходных ранжировках.
	В кластеры заключены объекты, по поводу которых некоторые из исходных ранжировок противоречат друг другу. Для их упорядочения необходимо провести новые исследования. Эти исследования могут быть как формально-математическими (вычисления медианы Кемени, упорядочения по средним рангам или по медианам и т.п. [1,2]), так и требовать привлечения новой информации из соответствующей прикладной области, возможно, проведения  дополнительных научных работ. 
	Введем необходимые понятия, затем впервые сформулируем алгоритм согласования в общем виде и рассмотрим его свойства.
 	Пусть имеется конечное число объектов, которые мы для простоты изложения будем изображать натуральными числами 1,2,3,...,k и называть “носителем”. Под кластеризованной ранжировкой, определенной на заданном носителе, понимаем следующую математическую конструкцию. Пусть объекты разбиты на группы, которые будем называть кластерами. В кластере может быть и один элемент. Входящие в один кластер объекты будем заключать в фигурные скобки. Например, объекты 1,2,3,...,10 могут быть разбиты на 7 кластеров: {1}, {2,3}, {4}, {5,6,7}, {8}, {9}, {10}. Кластеры не имеют общих элементов, а объединение их (как множеств) есть все рассматриваемое множество объектов. 
	Вторая составляющая кластеризованной ранжировки - это строгий линейный порядок между кластерами. Задано, какой из них первый, какой второй, и т.д. Будем изображать упорядоченность с помощью знака < . При этом кластеры, состоящие из одного элемента, будем для простоты изображать без фигурных скобок. Тогда кластеризованную ранжировку на основе введенных выше кластеров можно изобразить так:
А = [ 1 < {2,3} < 4 < {5,6,7} < 8 < 9 < 10 ] .
Конкретные кластеризованные ранжировки будем заключать в квадратные скобки. Если для простоты речи термин "кластер" применять только к кластеру не менее чем из 2-х элементов, то можно сказать, что в кластеризованную ранжировку А входят два кластера {2,3} и {5,6,7} и 5 отдельных элементов. 
	Введенная описанным образом кластеризованная ранжировка является бинарным отношением на множестве {1,2,3,...,10}. Его структура такова. Задано отношение эквивалентности с 7-ю классами эквивалентности, а именно, {2,3}, {5,6,7}, а остальные состоят из оставшихся 5 отдельных элементов. Затем введен строгий линейный порядок между классами эквивалентности. 
	Введенный математический объект известен в литературе как "ранжировка со связями" (М. Холлендер, Д.Вулф), “упорядочение" (Дж. Кемени, Дж. Снелл), "квазисерия" (Б.Г.Миркин),  "совершенный квазипорядок" (Ю.А.Шрейдер [3, с.127, 130]). Учитывая разнобой в терминологии, мы сочли полезным ввести собственный термин "кластеризованная ранжировка", поскольку в нем явным образом названы основные элементы изучаемого математического объекта - кластеры, рассматриваемые на этапе согласования ранжировок как классы эквивалентности, и ранжировка - строгий совершенный порядок между ними (в терминологии [3, гл.IV]).
 	Следующее важное понятие - противоречивость. Оно определяется для четверки - две кластеризованные ранжировки на одном и том же носителе и два различных объекта - элементы того же носителя.  При этом два элемента из одного кластера будем связывать символом равенства = , как эквивалентные .  
	Пусть А и В - две кластеризованные ранжировки. Пару объектов (a,b) назовем  “противоречивой” относительно А и В, если эти два элемента по-разному упорядочены в А и В, т.е. a < b в А и a > b в В либо a >b в А и  a < b в В. Отметим, что в соответствии с этим определением пара объектов (a,b), эквивалентная хотя бы в одной кластеризованной ранжировке, не может быть противоречивой: эквивалентность a = b не образует "противоречия" ни с a < b, ни с a > b.
	В качестве примера рассмотрим две кластеризованные ранжировки
В = [{1,2} < { 3,4, 5} < 6 < 7 < 9 < {8, 10}], C = [3 < {1, 4} < 2 < 6 < {5, 7, 8} < {9, 10}]..
	Совокупность  противоречивых пар объектов для двух кластеризованных ранжировок А и В назовем “ядром противоречий” и обозначим S(A,B). Для рассмотренных выше в качестве примеров трех кластеризованных ранжировок А, В и С, определенных на одном и том же носителе {1, 2, 3,..., 10},  имеем
S(A,B) = [ (8, 9)], S(A,C) = [ (1, 3), (2,4) ] , S(B,C) = [ (1, 3), (2, 3), (2, 4), (5, 6), (8,9) ] .  
Как при ручном, так и при программном нахождении ядра можно в поисках  противоречивых пар просматривать пары (1,2), (1,3), (1.,4), ...., (1, k), затем (2,3), (2,4), ..., (2, k), потом (3,4), ..., (3, k), и т.д., вплоть до (k-1, k). 
	“Ядро противоречий” можно изобразить графом с вершинами в точках носителя. При этом противоречивые пары задают ребра этого графа. Граф для S(A,B) имеет только одно ребро (одна связная компонента более чем из одной точки), для S(A,C) - 2 ребра (две связные компоненты более чем из одной точки), для S(B,C) - 5 ребер (три связные компоненты более чем из одной точки, а именно, {1, 2 , 3, 4}, {5, 6} и {8, 9}).
	Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей  || x(a, b) || из 0 и 1 порядка k x k. При этом x(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b. В первом случае x(b, a) = 0, а во втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1. Из определения противоречивости пары (a, b) вытекает, что для нахождения всех таких пар достаточно поэлементно перемножить матрицы ||x(a,b)|| и ||y(a, b)||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a,b)y(a,b)=x(b,a)y(b,a)=0.
 	Предлагаемый алгоритм согласования некоторого числа кластеризованных ранжировок состоят из трех этапов. На первом выделяются противоречивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок.  На втором формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки (т.е. классы эквивалентности - связные компоненты графов, соответствующих объединению попарных ядер противоречий). На третьем этапе эти кластеры (классы эквивалентности) упорядочиваются. Для установления порядка между кластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй - из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеет быть между выбранными объектами в любой из рассматриваемых кластеризованных ранжировок (корректность подобного упорядочивания, т.е. его независимость от выбора той или иной пары объектов,  вытекает из доказанных нами теорем [2]). Два объекта из разных кластеров согласующей кластеризованной ранжировки могут оказаться эквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т.е. находиться в одном кластере). В таком случае надо рассмотреть упорядоченность этих объектов в какой-либо другой из исходных кластеризованных ранжировок. Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемых объекта находились в одном кластере, то естественно считать (и это является уточнением к этапу 3 алгоритма), что они находятся в одном кластере и в согласующей кластеризованной ранжировке.
	Результат согласования кластеризованных ранжировок А, В, С,... обозначим f(А, В, С,...). Тогда f(А, В) = [1<2<3<4<5<6<7<{8, 9}<10], f(А, С) = [{1, 3}<{2, 4}<5< 6<7<8<9<10], f(В, С) = [{1,2,3,4}<{5,6}<7<{8, 9}<10], f(А, В, С) = f(В, С) = [{1,2,3,4} <{5,6}<7<{8, 9}<10]. В случае f(А,В) дополнительного изучения с целью упорядочения требуют только объекты 8 и 9. В случае f(В, С) объекты 1,2,3,4 объединились в один кластер, т.е. кластеризованные ранжировки оказались настолько противоречивыми, что процедура согласования не позволила провести достаточно полную декомпозицию задачи нахождения итогового мнения экспертов.
	Рассмотрим некоторые свойства алгоритмов согласования.
	1. Пусть D = f(А, В, C,...). Если a<b в согласующей  кластеризованной ранжировке D, то a<b или a=b в каждой из исходных ранжировок А, В, C, ...
 	2. Построение согласующих кластеризованных ранжировок может осуществляться поэтапно. В частности, f(A, B, C) = f(f(A, B), f(A, C), f(B, C)) . Ясно, что ядро противоречий для набора кластеризованных ранжировок является объединением таких ядер для всех пар рассматриваемых ранжировок.
	3. Построение согласующих кластеризованных ранжировок нацелено на выделение общего упорядочения в исходных кластеризованных ранжировках. Однако при этом некоторые общие свойства исходных кластеризованных ранжировок могут теряться. Так, при согласовании ранжировок В и С, рассмотренных выше, противоречия в упорядочении элементов 1 и 2 не было - в ранжировке. В эти объекты входили в один кластер, т.е. 1 = 2, в то время как 1<2 в кластеризованной ранжировке С. Значит, при их отдельном рассмотрении можно принять упорядочение 1 < 2. Однако в  f(В,C) они попали в один кластер, т.е. возможность их упорядочения исчезла. Это связано с поведением объекта 3, который "перескочил" в С на первое место и "увлек с собой в противоречие" пару (1, 2), образовав противоречивые пары и с 1, и с 2. Другими словами, связная компонента графа, соответствующего ядру противоречий, сама по себе не всегда является полным графом. Недостающие ребра при этом соответствуют парам типа (1, 2), которые сами по себе не являются противоречивыми, но "увлекаются в противоречие" другими парами.
 	4. В наших исследованиях необходимость согласования кластеризованных ранжировок возникла при разработке методики применения экспертных оценок в задачах экологического страхования и химической безопасности биосферы. Популярным является метод упорядочения по средним рангам, в котором итоговая ранжировка строится на основе средних арифметических рангов, выставленных отдельными экспертами [1]. Однако из теории измерений известно [4, гл.3], что более обоснованным является использование не средних арифметических, а медиан. Вместе с тем метод средних рангов весьма известен и широко применяется, так что просто отбросить его нецелесообразно. Поэтому было принято решение об одновременном применении обеих методов. Реализация этого решения потребовала разработки методики согласования двух указанных кластеризованных ранжировок. 
	5. Область применения рассматриваемого метода не ограничивается экспертными оценками. Он может быть применен, например, для сравнения качества математических моделей процесса испарения жидкости. Имелись данные экспериментов и результаты расчетов по 8 математическим моделям. Сравнивать модели можно по различным критериям качества. Например, по сумме модулей относительных отклонений расчетных и экспериментальных значений. Можно в каждой экспериментальной точке упорядочить модели по качеству, а потом получать единую оценку методами средних рангов и медиан. Использовались и иные методы. Затем применялись методы согласования полученных кластеризованных ранжировок. В результате оказалось возможным упорядочить модели по качеству и использовать это упорядочение при разработке банка математических моделей, используемого в задачах химической безопасности биосферы.
	6. Рассматриваемый метод согласования кластеризованных ранжировок построен в соответствии  с методологией  теории устойчивости [4], согласно которой результат обработки данных, инвариантный относительно метода обработки, соответствует реальности, а результат расчетов, зависящий от метода обработки, отражает субъективизм исследователя, а не объективные соотношения. 
__________________________________________
1. Орлов А.И. Экспертные оценки // Заводская лаборатория. 1996. Т.62. № 1. С.54-60.  
2. Горский В.Г., Орлов А.И., Гриценко А.А. Метод согласования кластеризованных ранжировок // Автоматика и телемеханика. 2000. №3. С. 159-167.
3. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971.   
4. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических исследованиях. М.: Наука, 1979.